☆ Limite de limite

Pour tout entier $n⩾1$ , on considère la fonction $f_n$  définie sur  $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $f_n(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^n}}$ . On note  ${\mathcal{C}}_n$ la courbe représentative de $f_n$ .

1. Démontrer que les courbes  ${\mathcal{C}}_n$ passent toutes par deux points dont on déterminera les coordonnées.

2.  Soit  $n$ un entier naturel non nul. Étudier la limite de $f_n$  en  $+\mathrm{\infty }$ .

3. a. Conjecturer, selon la valeur du réel $x$ , la limite de $f_n(x)$  lorsque  $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ .
    b. Démontrer la conjecture précédente.

4. Pour tout réel $x⩾0$ , on note $f(x)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)$ . On définit ainsi une fonction  $f$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ .  Le jeune mais non moins audacieux Yanis affirme qu'on peut trouver un réel $x_0$   positif tel que  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\underset{x\to x_0}{lim}{f}_n(x))\ne \underset{x\to x_0}{lim}(\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x))$ . A-t-il raison ?