☆ Limite de limite

Pour tout entier \(n\geqslant1\) , on considère la fonction \(f_n\)  définie sur  \([0;+\infty[\) par \(f_{n}(x)=\dfrac{1}{1+x^{n}}\) . On note  \(\mathscr{C}_{n}\) la courbe représentative de \(f_n\) .

1. Démontrer que les courbes  \(\mathscr{C}_{n}\) passent toutes par deux points dont on déterminera les coordonnées.

2.  Soit  \(n\) un entier naturel non nul. Étudier la limite de \(f_n\)  en  \(+\infty\) .

3. a. Conjecturer, selon la valeur du réel \(x\) , la limite de \(f_n(x)\)  lorsque  \(n\) tend vers \(+\infty\) .
    b. Démontrer la conjecture précédente.

4. Pour tout réel \(x\geqslant0\) , on note \(f(x)=\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}f_{n}(x)\) . On définit ainsi une fonction  \(f\) sur \([0;+\infty[\) .  Le jeune mais non moins audacieux Yanis affirme qu'on peut trouver un réel \(x_0\)   positif tel que  \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\left(\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}f_{n}(x)\right)\ne\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim}\left(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}f_{n}(x)\right)\) . A-t-il raison ?